Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，且∠A+∠CDB=90°，過(guò)點(diǎn)A，D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點(diǎn)E．
（1）求證：直線BD與⊙O相切；
（2）若AD：AE=，BC=6，求切線BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖，連接OD，欲證明直線BD與⊙O相切，只需證明OD⊥BD即可；
（2）連接DE．利用圓周角定理和三角形中位線定理易求DE的長(zhǎng)度，而AD：AE=，在直角△ADE中，利用勾股定理即可求得AE的長(zhǎng)度；最后利用切割線定理來(lái)求切線BD的長(zhǎng)度．
解答：（1）證明：∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO（等邊對(duì)等角）．
又∵∠A+∠CDB=90°（已知），
∴∠ADO+∠CDB=90°（等量代換），
∴∠ODB=180°-（∠ADO+∠CDB）=90°，即BD⊥OD．
又∵OD是圓O的半徑．
∴BD是⊙O切線；

（2）解：連接DE，則∠ADE=90°（圓周角定理）．
∵∠C=90°，
∴∠ADE=∠C，
∴DE∥BC，
又∵D是AC中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE=BC=3，AE=BE．
∵AD：AE=，
在直角△ADE中，利用勾股定理求得AE=3，則AB=6．
∴BD²=AB•BE=6×3=54，
∴BD=3．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的判定與性質(zhì)．其中要證某直線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．