Question

11．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A₁，A₂，A₃，…和B₁，B₂，B₃，…分別在直線y=kx+b和x軸上，△OA₁B₁，△B₁A₂B₂，△B₂A₃B₃，…都是等腰直角三角形，如果A₁（1，1），A₂（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$），那么點A₃的縱坐標是$\frac{9}{4}$，點A_n的縱坐標是（$\frac{3}{2}$）^n-1．

Answer 1

分析 先求出直線y=kx+b的解析式，求出直線與x軸、y軸的交點坐標，求出直線與x軸的夾角的正切值，分別過等腰直角三角形的直角頂點向x軸作垂線，然后根據等腰直角三角形斜邊上的高線與中線重合并且等于斜邊的一半，利用正切值列式依次求出三角形的斜邊上的高線，即可得到A₃的坐標，進而得出各點的坐標的規律．

解答 解：∵A₁（1，1），A₂（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$）在直線y=kx+b上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=1}\\{\frac{7}{2}k+b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{5}}\\{b=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
∴直線解析式為：y=$\frac{1}{5}$x+$\frac{4}{5}$；
設直線與x軸、y軸的交點坐標分別為N、M，
當x=0時，y=$\frac{4}{5}$，
當y=0時，$\frac{1}{5}$x+$\frac{4}{5}$=0，
解得x=-4，
∴點M、N的坐標分別為M（0，$\frac{4}{5}$），N（-4，0），
∴tan∠MNO=$\frac{MO}{NO}$=$\frac{\frac{4}{5}}{4}$=$\frac{1}{5}$，
作A₁C₁⊥x軸與點C₁，A₂C₂⊥x軸與點C₂，A₃C₃⊥x軸與點C₃，
∵A₁（1，1），A₂（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴OB₂=OB₁+B₁B₂=2×1+2×$\frac{3}{2}$=2+3=5，
tan∠MNO=$\frac{{A}_{3}{C}_{3}}{N{C}_{3}}$=$\frac{{A}_{3}{C}_{3}}{4+5+{B}_{3}{C}_{3}}$=$\frac{1}{5}$，
∵△B₂A₃B₃是等腰直角三角形，
∴A₃C₃=B₂C₃，
∴A₃C₃=$\frac{9}{4}$=（$\frac{3}{2}$）²，
同理可求，第四個等腰直角三角形A₄C₄=$\frac{27}{8}$=（$\frac{3}{2}$）³，
依此類推，點A_n的縱坐標是（$\frac{3}{2}$）^n-1，
故答案為：$\frac{9}{4}$，（$\frac{3}{2}$）^n-1．

點評 本題考查的是一次函數圖象上點的坐標特點，熟知一次函數圖象上各點的坐標一定適合此函數的解析式是解答此題的關鍵．