Question

如圖，已知△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點F在⊙O上，且滿足=，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于D點，交AF的延長線于E點．

（1）求證：AE⊥DE；

（2）若tan∠CBA=，AE=3，求AF的長．

Answer 1

       （1）證明：連接OC，

∵OC=OA，

∴∠BAC=∠OCA，

∵=，

∴∠BAC=∠EAC，

∴∠EAC=∠OCA，

∴OC∥AE，

∵DE且⊙O于點C，

∴OC⊥DE，

∴AE⊥DE；

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，

∴△ABC是直角三角形，

∵tan∠CBA=，

∴∠CBA=60°，

∴∠BAC=∠EAC=30°，

∵△AEC為直角三角形，AE=3，

∴AC=2，

連接OF，

∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，

∴△OAF為等邊三角形，

∴AF=OA=AB，

在Rt△ACB中，AC=2，tan∠CBA=，

∴BC=2，

∴AB=4，

∴AF=2．