Question

（1）如圖1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC邊上的兩點，且滿足∠DBE=∠ABC（0°＜∠CBE＜∠ABC）．以點B為旋轉中心，將△BEC按逆時針旋轉∠ABC，得到△BE′A（點C與點A重合，點E到點E′處）連接DE′，求證：DE′=DE．

（2）如圖2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC邊上的兩點，且滿足∠DBE=∠ABC（0°＜∠CBE＜45°）．

求證：DE²=AD²+EC²．

Answer 1

證明（1）：∵∠DBE=∠ABC，

∴∠ABD+∠CBE=∠DBE=∠ABC，

∵△ABE′由△CBE旋轉而成，

∴BE=BE′，∠ABE′=∠CBE，

∴∠DBE′=∠DBE，

在△DBE與△DBE′中，

∵ BE=BE′ ∠DBE=∠DBE′ BD=BD   ，

∴△DBE≌△DBE′，

∴DE′=DE；

（2）如圖所示：把△CBE旋轉90°，連接DE′，

∵BA=BC，∠ABC=90°，

∴∠BAC=∠BCE=45°，

∴圖形旋轉后點C與點A重合，CE與AE′重合，

∴AE′=EC，

∴∠E′AB=∠BCE=45°，

∴∠DAE′=90°，

在Rt△ADE′中，DE′²  =AE′²  + AD²，

∵AE′=EC，

∴DE′²=EC²+AD²，

同（1）可得DE=DE′，

∴DE′²=AD²+EC²．