Question

【題目】如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)P是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合），點(diǎn)Q是邊CD上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PB、PQ，且∠PBC=∠BPQ．

（1）當(dāng)QD=QC時(shí)，求∠ABP的正切值；

（2）設(shè)AP=x，CQ=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（3）聯(lián)結(jié)BQ，在△PBQ中是否存在度數(shù)不變的角？若存在，指出這個(gè)角，并求出它的度數(shù)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) （0＜x＜2）;(3)見解析

【解析】試題分析：（1）延長PQ交BC延長線于點(diǎn)E．設(shè)PD=x，由∠PBC＝∠BPQ可得EB=EP，再根據(jù)AD//BC，QD＝QC可得PD＝CE，PQ＝QE，從而得BE＝EP= x+2， QP＝，在Rt△PDQ中，根據(jù)勾股定理可得，從而求得的長，再根據(jù)正切的定義即可求得；

（2）過點(diǎn)B作BH⊥PQ，垂足為點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)BQ，通過證明Rt△PAB Rt△PHB，得到AP = PH =x，通過證明Rt△BHQ Rt△BCQ，得到QH = QC= y，在Rt△PDQ中，根據(jù) 勾股定理可得PD2+QD2=PQ2，代入即可求得；

（3）存在，根據(jù)（2）中的兩對全等三角形即可得.

試題解析：（1）延長PQ交BC延長線于點(diǎn)E，設(shè)PD=x，

∵∠PBC＝∠BPQ，

∴EB=EP，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD//BC，∴PD∶CE= QD∶QC= PQ∶QE，

∵QD＝QC，∴PD＝CE，PQ＝QE，

∴BE＝EP= x+2，∴QP＝，

在Rt△PDQ中，∵，∴，解得，

∴，∴；

（2）過點(diǎn)B作BH⊥PQ，垂足為點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)BQ，

∵AD//BC，∴∠CBP＝∠APB，∵∠PBC＝∠BPQ，∴∠APB＝∠HPB，

∵∠A＝∠PHB＝90°，∴BH = AB =2，∵PB = PB，∴Rt△PAB Rt△PHB，

∴AP = PH =x，

∵BC = BH=2，BQ = BQ，∠C＝∠BHQ＝90°，

∴Rt△BHQ Rt△BCQ，∴QH = QC= y

在Rt△PDQ中，∵，∴，

∴；

（3）存在，∠PBQ＝45°．

由（2）可得， ， ，

∴．