Question

（2012•懷柔區一模）已知：關于x的方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0．
（1）a取何整數值時，關于x的方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0的根都是整數；
（2）若拋物線y=（a-1）x²-（a+1）x+2=0的對稱軸為x=-1，頂點為M，當k為何值時，一次函數y=

1

3

kx+k的圖象必過點M．

Answer 1

分析：（1）當a=1時，原方程是一元一次方程，可求出方程的解為1，方程的根是整數，當a≠1，原方程為一元二次方程，首先求出根的判別式△，然后求出方程的兩根，根據方程的根是整數求出a的值，
（2）首先根據拋物線y=（a-1）x²-（a+1）x+2=0的對稱軸為x=-1，求出a的值，然后求出頂點M的坐標，代入解析式求出k的值．

解答：解：（1）當a-1=0時，即a=1時，原方程變為-2x+2=0．方程的解為 x=1；
當a-1≠0時，原方程為一元二次方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0．△=b²-4ac=[-（a+1）]²-4（a-1）•2=（a-3）²≥0
x=

(a-1)±(a-3)

2(a-1)

，
解得x1=1，x2=

2

a-1

．
∵方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0的根都是整數．
∴只需

2

a-1

為整數
∴當a-1=±1時，即a=2或a=0時，x=1或x=-2；
當a-1=±2時，即a=3或a=-1時，x=1或x=-1；
∴a取0，-1，1，2，3時，方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0的根都是整數．

（2）∵拋物線y=（a-1）x²-（a+1）x+2=0的對稱軸為x=-1，
∴-

b

2a

=-1，
∴a=

1

3

．
∴頂點坐標為M（-1，

8

3

）．
把M點坐標代入一次函數y=

1

3

kx+k中，則k=4．
故當k=4時，一次函數y=

1

3

kx+k的圖象必過點M．

點評：本題主要考查二次函數的綜合題的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握二次函數的圖象性質以及對稱軸的特點，此題難度不大．