Question

【題目】如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AB=10， = = ，點E是點D關于AB的對稱點，M是AB上的一動點，下列結論：①∠BOE=60°；②∠CED= ∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述結論中正確的個數是（ ）

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】∵ = = ，點E是點D關于AB的對稱點，

∴ = ，

∴∠DOB=∠BOE=∠COD= =60°，∴①正確；

∠CED= ∠COD= =30°= ，∴②正確；

∵ 的度數是60°，

∴ 的度數是120°，

∴只有當M和A重合時，∠MDE=60°，

∵∠CED=30°，

∴只有M和A重合時，DM⊥CE，∴③錯誤；

做C關于AB的對稱點F，連接CF，交AB于N，連接DF交AB于M，此時CM+DM的值最短，等于DF長，

連接CD，

∵ = = = ，并且弧的度數都是60°，

∴∠D= =60°，∠CFD= =30°，

∴∠FCD=180°﹣60°﹣30°=90°，

∴DF是⊙O的直徑，

即DF=AB=10，

∴CM+DM的最小值是10，∴④正確；

故答案為：C．

由已知條件求出，求出∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，求出∠CED，即可判斷①②；根據圓周角定理求出當M和A重合時∠MDE=60°即可判斷③；求出M點的位置，根據圓周角定理得出此時DF是直徑，即可求出DF長，即可判斷④，最后得到所求的結論.．