Question

如圖，在△ABC中，∠C＝90º，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分別是AC、AB

的中點，連接DE．點P從點D出發，沿DE方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點B出發，沿

BA方向勻速運動，速度為2cm/s，當點P停止運動時，點Q也停止運動．連接PQ，設運動時間為t(0＜t

＜4)s．解答下列問題：

(1)當t為何值時，PQ⊥AB？

(2)當點Q在B、E之間運動時，設五邊形PQBCD的面積為ycm²，求y與t之間的函數關系式；

(3)在(2)的情況下，是否存在某一時刻t，使得PQ分四邊形BCDE所成的兩部分的面積之比為

＝1∶29？若存在，求出此時t的值以及點E到PQ的距離h；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）y（3）當時，h

【解析】解：（1）如圖，

在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，

 ∴。

                ∵點D、E分別是AC、AB的中點，

∴AD=DC=3，AE=EB=5，DE∥BC，且DE=BC=4。

                ∵PQ⊥AB，∴∠PQB=∠C=90⁰。

 又∵DE∥BC，∴∠AED=∠B。

∴△PQE∽△ABC。∴。

由題意，得PE=4－t，QE=2t－5，

∴，解得。

∴當時，PQ⊥AB。

（2）過點P作PM⊥AB于點M。

     由△PME∽△ABC，得，

     ∴，即。

     ∴，

        。

     ∴。

（3）假設存在時刻t使＝1∶29，此時，，

     ∴，即。

     解得（舍去）。

     當時，PM=，ME=，EQ=5－2×2=1，

MQ=ME＋EQ=，。

∵，∴。

當時， PQ分四邊形BCDE所成的兩部分的面積之比為＝1∶29，此時點E到PQ的距離h。

（1）由△PQE∽△ABC可列式求解。

（2）由△PME∽△ABC可求得，根據可求關系式。

（3）假設存在，由已知＝1∶29可得，即可求出，進一步由求出。