Question

如圖，在正方形ABCD中，邊長為4，E是AD邊的中點，連接BE，作EG⊥BE交CD于點F，交BC的延長線于點G．
（1）求證：△ABE∽△DEF；
（2）求DF的長；
（3）求△BEG的面積．

Answer 1

分析：（1）先根據正方形的性質得出∠A=∠D=90°，再根據EG⊥BE得出∠AEB+∠DEF=90°，再根據∠AEB+∠ABE=90°即可得出∠DEF=∠ABE，故可得出結論；
（2）根據相似三角形的對應邊成比例即可得出結論；
（3）先得出△CGF∽△DEF，再由相似三角形的對應邊成比例得出CG的長，故可得出BG的長，根據S_△BEG=

1

2

BG•AB即可得出結論．

解答：（1）證明：∵正方形ABCD中∠A=∠D=90°，EG⊥BE，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
∵∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEF=∠ABE，
∴△ABE∽△DEF；


（2）解：∵△ABE∽△DEF，E是AD邊的中點，

∴DE=

1

2

AD=2，
∴DF：AE=DE：AB，即DF：2=2：4，
解得DF=1；


（3）解：∵正方形ABCD中∠DCG=∠D=90°，∠EFD=∠CFG，
∴△CGF∽△DEF，
∴DF：FC=DE：CG，即1：3=2：CG，CG=6，
∴BG=4+6=10，
∴S_△BEG=

1

2

BG•AB=20．

點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，涉及到相似三角形的判定與性質、正方形的性質等知識，難度適中．