Question

已知拋物線上有不同的兩點E和F．

（1）求拋物線的解析式．

（2）如圖，拋物線與x軸和y軸的正半軸分別交于點A和B，M為AB的中點，∠PMQ在AB的同側以M為中心旋轉，且∠PMQ＝45°，MP交y軸于點C，MQ交x軸于點D．設AD的長為m（m＞0），BC的長為n，求n和m之間的函數關系式．

（3）當m，n為何值時，∠PMQ的邊過點F．

　　

Answer 1

解：（1）拋物線的對稱軸為．　
∵　拋物線上不同兩個點E和F的縱坐標相同，
∴　點E和點F關于拋物線對稱軸對稱，則　，且k≠－2．
∴　拋物線的解析式為．　　　　　　　　　　　
（2）拋物線與x軸的交點為A（4，0），與y軸的交點為B（0，4），
∴　AB＝，AM＝BM＝．　　　　　　　　　　　　　　　　
在∠PMQ繞點M在AB同側旋轉過程中，∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45°，
在△BCM中，∠BMC＋∠BCM＋∠MBC＝180°，即∠BMC＋∠BCM＝135°，
在直線AB上，∠BMC＋∠PMQ＋∠AMD＝180°，即∠BMC＋∠AMD＝135°．
∴　∠BCM＝∠AMD．
故　△BCM∽△AMD．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴　，即　，．
故n和m之間的函數關系式為（m＞0）．　　　　　　　　　　
（3）∵　F在上，
　　 ∴　，
　　化簡得，，∴　k₁＝1，k₂＝3．　　　　
　　即F₁（－2，0）或F₂（－4，－8）．　　　　　　　　　　　　　
　　①MF過M（2，2）和F₁（－2，0），設MF為，
　　則　　　解得，　∴　直線MF的解析式為．
　　直線MF與x軸交點為（－2，0），與y軸交點為（0，1）．
　　若MP過點F（－2，0），則n＝4－1＝3，m＝；
　　若MQ過點F（－2，0），則m＝4－（－2）＝6，n＝．　　　
　　②MF過M（2，2）和F₁（－4，－8），設MF為，
　　則　　解得，　∴　直線MF的解析式為．
　　直線MF與x軸交點為（，0），與y軸交點為（0，）．
　　若MP過點F（－4，－8），則n＝4－（）＝，m＝；
　　若MQ過點F（－4，－8），則m＝4－＝，n＝．　　
　故當　　或時，∠PMQ的邊過點F．