Question

【題目】如圖，等腰中，，．動點在上以每分鐘5個單位長度的速度從點出發向點移動，過作交邊于點，連結、．設點移動的時間為．

（1）求、兩點的坐標；

（2）計算：當面積最大時，的值；

（3）在（2）的條件下，邊上是否還存在一個點，使得？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(0，6)，B(-8，0)；（2）當t=1時，△EFO的面積達到最大值；（3）存在滿足條件的D點，其坐標為（－3，0）

【解析】

（1）先根據題意得出AC兩點的坐標，再設BO=x，由勾股定理求出x的值，進而可得出B點坐標；
（2）過F點作FK⊥BC于K，設F點移動的時間為t，證明△AFE∽△ABC，利用相似的性質得出EF=10－5t，從而得到S△EFO=－ (t－2)t，從而得出結果；

（3）在（2）的條件下，E、F分別是AC、AB的中點，若使D為BC的中點時，，再由可知FO=ED，EO=FD，EF=FE，故△EFD≌△FEO，從而可得出D點坐標.

解：（1）∵CO=2，

∴C（2，0），

又∵AO=3OC=6，

∴A(0，6)，

可設BO=x，且x＞0，

則：BC2=（2＋x）2，AB2=AO2＋OB2=36＋x2，

又∵BC=AB，

∴（2＋x）2=36＋x2，

解得：x=8，

∴B(－8，0)；

（2）過F點作FK⊥BC于K，

可設F點移動的時間為t，且0＜t＜2，

則：BF=5t，TO=FK=3t；

∴AT=6－3t，

又∵FE∥BC，

∴△AFE∽△ABC，

而AO⊥BC交EF于T，

則：=，

∴=，即：EF=10－5t，

故：S△EFO=EF×TO= （10－5t）×3t，

即：S△EFO=－ （t－2）t，

∴當t=1時，△EFO的面積達到最大值；

（3）在（2）的基礎上，E、F分別是AC、AB的中點，

若使D為BC的中點時，

，

又∵，

∴FO=ED，EO=FD，EF=FE，

在△EFD和△FEO中，

，

則△EFD≌△FEO（SSS），

∵B（-8，0），C（2，0），

∴D（-3，0），

故：存在滿足條件的D點，其坐標為（-3，0）．