Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，∠A=45°．AB=30，BC=x，其中15＜x＜30．作DE⊥AB于點E，將△ADE沿直線DE折疊，點A落在F處，DF交BC于點G．
（1）用含有x的代數式表示BF的長．
（2）設四邊形DEBG的面積為S，求S與x的函數關系式．
（3）當x為何值時，S有最大值，并求出這個最大值．
[參考公式：二次函數y=ax²+bx+c圖象的頂點坐標為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）]．

Answer 1

分析：（1）根據等式BF=AF-AB=2AE-AB=2DE-AB=2BC-AB，用含x的代數式表示BF的長；
（2）根據等量關系“S=S_△DEF-S_△GBF”列出S與x的函數關系式；
（3）根據（2）中的函數關系式和x的取值范圍求S的最大值．

解答：解：（1）由題意，得EF=AE=DE=BC=x，AB=30，
∴BF=2x-30．

（2）∵∠F=∠A=45°，∠CBF=∠ABC=90°，
∴∠BGF=∠F=45°．
∴BG=BF=2x-30，
∴S=S△DEF-S△GBF=

1

2

DE2-

1

2

BF2
=

1

2

x2-

1

2

(2x-30)2
=-

3

2

x2+60x-450．

（3）S=-

3

2

x2+60x-450=-

3

2

(x-20)2+150．
∵a=-

3

2

＜0，15＜20＜30，
∴當x=20時，S有最大值，最大值為150

點評：本題考查的是函數關系式的求法以及求最大值的問題，但需注意自變量的變化范圍．