Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=10，cosB=，點D在AB邊上（點D與點A，B不重合），DE∥BC交AC邊于點E，點F在線段EC上，且EF=AE，以DE、EF為鄰邊作平行四邊形DEFG，連接BG．
（1）當EF=FC時，求△ADE的面積；
（2）設AE=x，△DBG的面積為y，求y與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
（3）如果△DBG是以DB為腰的等腰三角形，求AD的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）作AH⊥BC于H，在Rt△AHB中，cosB==可得出AH、BC的長，進而可得出△ABC的面積，由相似三角形的判定定理得出△ADE∽△ABC，根據相似三角形面積的比等于相似比即可得出△ADE的面積；
（2）設AH交DE、GF于點M、N，由（1）可知△ADE∽△ABC，故可得出==，再根據AE=x，可知AM=x，DE=x，NH=8-x，根據S_△DBG=S_梯形DBCE-S_{平行四邊形DGFE}-S_梯形GBCF，即可得出結論；
（3）作FP⊥BC于P，GQ⊥BC于Q，由FC=10-x，cosC=cos∠ABC=，可知PC=6-x，BQ=12-x-（6-x）=6-x，由勾股定理可用x表示出BG的長，在△DBG中用x表示出DB，DG的長，再分DB=DG和DB=BG兩種情況進行討論．
解答：解：（1）作AH⊥BC于H．
在Rt△AHB中，∵cosB==，AB=10，
∴BH=6，∴AH=8，
∵AB=AC，∴BC=2BH=12，
∴S_△ABC=×12×8=48．
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴=（）²，
∵EF=AE，EF=FC，
∴==，
∴=，
∴S_△ADE=；

（2）設AH交DE、GF于點M、N．
∵DE∥BC，∴==，
∵AE=x，∴AM=x，DE=x，
∵MN=AM=x，∴NH=8-x，
∴S_△DBG=S_梯形DBCE-S_{平行四邊形DGFE}-S_梯形GBCF，
∴y=（x+12）（8-x）-x•x-（x+12）（8-x），
∴y=-x²+x（0＜x≤8）；

（3）作FP⊥BC于P，GQ⊥BC于Q，
在Rt△FPC中，FC=10-x，cosC=cos∠ABC=，
∴PC=6-x，
∴BQ=12-x-（6-x）=6-x，
∴BG=，
在△DBG中，DB=10-x，DG=x，
①若DB=DG，則10-x=x，解得x=8；
②若DB=BG，則10-x=，
解得x₁=0（舍去），x₂=，
∴AD=8或AD=．
點評：本題考查的是相似形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質、勾股定理及直角三角形的性質、等腰三角形的性質，根據題意判斷出△ADE∽△ABC是解答此題的關鍵．