Question

如圖，在△ABC中，AB=17，AC=5

2

，∠CAB=45°，點O在BA上移動，以O為圓心作⊙O，使⊙O與邊BC相切，切點為D，設⊙O的半徑為x，四邊形AODC的面積為y．
（1）求y與x的函數關系式；
（2）求x的取值范圍；
（3）當x為何值時，⊙O與BC、AC都相切？

Answer 1

分析：（1）根據題目條件和切線的性質，建立起半徑和BD的關系式，然后根據四邊形面積公式和三角形面積公式得出S_{四邊形AODC}=S_△ABC-S_△BOD，得出y與x的函數關系式；
（2）結合圖形，易得當O在B點時，圓的半徑最小，O在C點時，圓的半徑最大，求出CF的長即可；
（3）當⊙O與BC、AC都相切時，利用S_△AOC+S_△BOC=S_△ABC，即可求出x的值．

解答：解：（1）如圖①，過點C作CE⊥AB，垂足為E．
在Rt△ACE中，AC=5

2

，∠CAB=45°，
∴AE=CE=AC•sin45°=5

2

×

2

2

=5．
∴BE=AB-AE=17-5=12，CB=

CE2+EB2

=

52+122

=13．（2分）
∴tanB=

CE

EB

=

5

12

．
∵CB切⊙O于點D，
∴OD⊥BC．
又

OD

BD

=

x

BD

=tanB=

5

12

，
∴BD=

12

5

x．（4分）
∵S_{四邊形AODC}=S_△ABC-S_△BOD，
∴y=

1

2

AB•CE-

1

2

BD•OD=

1

2

×17×5-

1

2

•

12

5

x•x=-

6

5

x2+

85

2

；（6分）

（2）過點C作CF⊥CB交AB于F．
在Rt△BCF中，CF=BC•tanB=13×

5

12

=

65

12

．
∴x的取值范圍是0＜x≤

65

12

．（9分）
說明：答案為0＜x＜

65

12

不扣分；

（3）當⊙O與BC、AC都相切時，
設⊙O與AC的切點為G，連接OG、OC（如圖②），則OG=OD=x．
∵S_△AOC+S_△BOC=S_△ABC，
∴

1

2

•5

2

•x+

1

2

•13•x=

1

2

•17•5．
∴x=

85

5 2 +13

=

5

7

(13-5

2

)．（12分）

點評：此題考查了利用圖形之間的關系建立函數關系式的能力，解答此類題目的關鍵是將面積之間的關系作為橋梁，要熟知各種圖形的面積公式．