Question

【題目】在平面直角坐標系中，點到封閉圖形的“極化距離”定義如下：任取圖形上一點，記長度的最大值為，最小值為（若與重合，則），則“極化距離”．

（1）如圖1，正方形以原點為中心，點的坐標為，

①點到線段的“極化距離”_______；

點到線段的“極化距離”_________；

②記正方形為圖形，點在軸上，且，求點的坐標；

（2）如圖2，圖形為圓心在軸上，半徑為的圓，直線與軸，軸分別交于，兩點，若線段上的任一點都滿足，直接寫出圓心的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①3，6；②點的坐標為(0，1)或(0，-1)；（2）或

【解析】

(1)①由題意得出M=OB=3，m=3，即可得出點O到線段AB的“極化距離”；由題意可得點E、點A、點B三點共線，可得M=AE=8，m=BE=2，即可得點E(-5，3)到線段AB的“極化距離”；

②分兩種情況討論，設點P(0，a)，利用勾股定理可求M，由題意列出方程可求解；
(2)分兩種情況討論，取特殊位置當t=2、t=0、t=時，分別求解即可解決問題．

(1)如圖，連接BO，

∵正方形ABCD以原點O為中心，點A的坐標為(3，3)，
∴點O(0，0)，B(-3，3)
∴OB=3，
∴M=OB=3，m=3，
∴點O到線段AB的“極化距離”D(O，AB)=3，

∵點E(-5，3)，點A(3，3)，點B(-3，3)
∴點E、點A、點B三點共線，
∴M=AE=8，m=BE=2，
∴點E(-5，3)到線段AB的“極化距離”D(E，AB)=6，
故答案為：3，6；

②如下圖記，

若在軸正半軸，有兩種情況：

在線段上，則，．

設點P(0，)，

∴M=CP=，m=()，
∵D(P，W)=3，
∴

∴，
∴點P坐標(0，1)，

若在F上方，可知，無解，

由對稱性，若在軸正半軸，可得點P(0，-1)；

綜上，點P坐標為(0，1)或(0，-1)；

(2)∵直線與軸，軸分別交于F，G兩點，

令，則，令，則，
∴點F坐標(-1，0)，點G(0，1)，
當t≥0時，
如圖，當t=2時，

由圖可得：M=7，m=1，
∴D(P，W)=6，

如圖，當t=0時，

由圖可得：M=5，m=3，

∴D(P，W)=2，
∴當0＜t＜2時，線段FG上的任一點P都滿足2＜D(P，W)＜6，
當t＜0時，
如圖，延長TG交圓T于H，

依題意，，

∴，

∴，即，

解得：，

∴當時，M=7，m=1，
∴D(P，W)=6，

∴當時，線段FG上的任一點P都滿足2＜D(P，W)＜6，
綜上所述：或．