Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E，F為BC中點，BE與DF，DC分別交于點G，H，∠ABE=∠CBE．
（1）線段BH與AC相等嗎？若相等給予證明，若不相等請說明理由；
（2）求證：BG²-GE²=EA²．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據三角形的內角和定理求出∠BCD=∠ABC，∠ABE=∠DCA，推出DB=CD，根據ASA證出△DBH≌△DCA即可；
（2）根據DB=DC和F為BC中點，得出DF垂直平分BC，推出BG=CG，根據BE⊥AC和∠ABE=∠CBE得出AE=CE，在Rt△CGE中，由勾股定理即可推出答案．
解答：證明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC
∴DB=DC，
∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，
∴∠HBD=∠ACD，
∵在△DBH和△DCA中
，
∴△DBH≌△DCA（ASA），
∴BH=AC．

（2）連接CG，
由（1）知，DB=CD，
∵F為BC的中點，
∴DF垂直平分BC，
∴BG=CG，
∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，
∴EC=EA，
在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG²-GE²=CE²，
∵CE=AE，BG=CG，
∴BG²-GE²=EA²．
點評：本題考查了勾股定理，等腰三角形性質，全等三角形的性質和判定，線段的垂直平分線的性質的應用，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，等腰三角形具有三線合一的性質，主要考查學生運用定理進行推理的能力．