Question

如圖，將邊長為a_n（n=1，2，3，…）的正方形紙片從左到右順次擺放，其對應的正方形的中心依次為A₁，A₂，A₃，…，且后一個正方形的頂點在前一個正方形的中心，若第n個正方形紙片被第n+1個正方形紙片蓋住部分的邊長（即虛線的長度）記為b_n，已知a₁=1，a_n-a_n-1=2，則b₁+b₂+b₃+…+b_n=

n²

．

Answer 1

分析：過A₁作A₁A⊥EF于A，A₁D⊥FG于D，根據正方形的性質推出∴∠A₁AB=∠A₁DC=∠EFG=90°，A₁A=A₁D，求出∠AA₁B=∠DAC，證△BAA1≌△CDA1，得到AB=DC，求出虛線部分的線段之和是1，依次求出其它虛線之和，相加即可．

解答：解：過A₁作A₁A⊥EF于A，A₁D⊥FG于D，
∵正方形EFGH，
∴∠A₁AB=∠A₁DC=∠EFG=90°，A₁A=A₁D，
∴∠AA₁D=∠BA₁C=90°，
∴∠AA₁B=∠DAC，
∴△BAA₁≌△CDA₁，
∴AB=DC，
∵a₁=1，a_n-a_n-1=2，
∴BF+FC=FA+FD=1，
同理第2個虛線之和是 1+2=3，
同理第3個虛線之和是3+2=5，
同理第4個虛線之和是 5+2=7
同理第5個虛線之和是7+2=9，
若擺放前n個（n為大于1的正整數）個正方形紙片，則圖中被遮蓋的線段（虛線部分）之和為：
1+3+5+…+（2n-1）=

1

2

×（1+2n-1）n=n²
故答案為：n²．

點評：本題主要考查對正方形的性質，全等三角形的判定等知識點的理解和掌握，能求出各個虛線的長度是解此題的關鍵．