Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點A在第一象限，點B在x軸正半軸上，AO=AB，OB=4，tan∠AOB=2，點C是線段OA的中點．

（1）求點C的坐標；

（2）若點P是x軸上的一個動點，使得∠APO=∠CBO，拋物線y=ax2+bx經過點A、點P，求這條拋物線的函數解析式；

（3）在（2）的條件下，點M是拋物線圖象上的一個動點，以M為圓心的圓與直線OA相切，切點為點N，點A關于直線MN的對稱點為點D．請你探索：是否存在這樣的點M，使得△MAD∽△AOB？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C的坐標為（1，2）；（2）y=﹣x2+x或y=x2+x；（3）存在這樣的點M（6，4）或（10，-）或（﹣10，20）或（﹣6，4），使得△MAD∽△AOB

【解析】

（1）過點A作AD⊥OB于點D，過點C作CE⊥OB于點E，由等腰三角形的性質可得OD=OB=2，根據tan∠AOB=2，可得AD=4，根據中位線的性質即可求出C點坐標；（2）由（1）可得A點坐標和∠CBE的正切值，進而可得∠APO的正切值，即可求出PD的長，根據PD=|x﹣2|，可求出P點坐標，把A、P兩點坐標代入y=ax2+bx即可求出a、b的值，即可得拋物線解析式；（3）若△MAD∽△AOB，則∠MAN=∠AOB，由于（2）中由兩個拋物線解析式，所以分兩種情況討論，由于切點N的不確定性，所以點N的位置由兩種，一種是點N在點A的上方，另一種是點N在點A的下方．

（1）過點A作AD⊥OB于點D，過點C作CE⊥OB于點E，

∵AO=AB，

∴AD是△AOB的中線，

∴OD=OB=2，

∵tan∠AOB=2，

∴=2，

∴AD=4，

∵CE∥AD，點C是AO的中點，

∴CE是△AOD的中位線，

∴CE=AD=2，OE=OD=1，

∴C的坐標為（1，2）；

（2）由（1）可知：CE=2，BE=3，A的坐標為（2，4），

∴tan∠CBE==，

∵∠APO=∠CBO，

∴tan∠APO=tan∠CBO=，

∴=，

∴PD=6，

設P的坐標為（x，0），

∵D（2，0），

∴PD=|x﹣2|，

∴|x﹣2|=6，

∴x=8或x=﹣4，

∴P（8，0）或（﹣4，0）；

當P的坐標為（8，0）時，把A（2，4）和（8，0）代入y=ax2+bx，

∴，

解得：，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+x，

當P的坐標為（﹣4，0）時，把A（2，4）和P（﹣4，0）代入y=ax2+bx，

∴，解得：，

∴拋物線的解析式為：y=x2+x，

綜上所述，拋物線的解析式為：y=﹣x2+x或y=x2+x；

（3）∵M為圓心，N為切點，

∴MN⊥OA，

∵D點是A點關于MN的對稱點，

∴△MAD是等腰三角形，MA=MD

當△MAD∽△AOB時，

∵△AOB是等腰三角形，

∴∠MAD=∠AOB，

當拋物線的解析式為y=﹣x2+x時，如圖2，

①若點N在A的上方時，此時∠MAN=∠AOB，

∴AM∥x軸，

∴M的縱坐標為4，

∴把y=4代入y=﹣x2+x，

解得：x=2（舍去）或x=6，

∴M的坐標為（6，4），

②當點N在點A的下方時，此時∠MDA=∠AOB，

∴DM∥x軸，

過點A作AE⊥DM于點E，交于x軸于點F，設D點橫坐標為a，

∴DE=2-a，

∵tan∠MDA=tan∠AOB=2，

∴AE=2DE=4-2a，

∴點M的縱坐標為2a，

∴由勾股定理可知：AD=（2-a），OA=2，

∴，解，

∴DM=，

設M的橫坐標為x，

∴x-a=

∴x=，

∴M（，2a）

把M（，2a）代入y=﹣x2+x，

得：2a=-×()2+×()

解得：a=2或a=-，

∴當a=2時，M（2，4）舍去

當a=-時，M（10，-）

當拋物線的解析式為y=x2+x時，如圖4，

若點N在點A的上方時，此時∠MAN=∠AOB，

延長MA交x軸于點F，

∵∠MAN=∠OAF，

∴∠AOB=∠OAF，

∴FA=FO，

過點F作FG⊥OA于點G，

∵A（2，4），

∴由勾股定理可求得：AO=2，

∴OG=AO=，

∵tan∠AOB=

∴GF=2，

∴由勾股定理可求得：OF=5，

∴F的坐標為（5，0），設直線MA的解析式為：y=mx+n，

把A（2，4）和F（5，0）代入y=mx+n，

∴，

解得：，

∴直線MA的解析式為：y=﹣+，

聯立，

∴解得：x=2（舍去）或x=﹣10，

把x=﹣10代入y=﹣+，

∴y=20，

∴M（﹣10，20），

若點N在點A的下方時，此時∠MAN=∠AOB，

∴AM∥x軸，

∴M的縱坐標為4，

把y=4代入y=x2+x，

∴x=﹣6或x=2（舍去），

∴M（﹣6，4），

綜上所述，存在這樣的點M（6，4）或（10，-）或（﹣10，20）或（﹣6，4），使得△MAD∽△AOB