Question

如圖，點P是直線：上的點，過點P的另一條直線交拋物線于A、B兩點．

（1）若直線的解析式為，求A、B兩點的坐標；

（2）①若點P的坐標為（－2，），當PA＝AB時，請直接寫出點A的坐標；

②試證明：對于直線上任意給定的一點P，在拋物線上都能找到點A，使得PA＝AB成立．

（3）設直線交軸于點C，若△AOB的外心在邊AB上，且∠BPC＝∠OCP，求點P的坐標．

 

Answer 1

【答案】

（1）A（，），B（1，1）；（2）①A₁（－1，1），A₂（－3，9）；②過點P、B分別作過點A且平行于軸的直線的垂線，垂足分別為G、H.設P（，），A（，），由PA＝PB可證得△PAG≌△BAH，即得AG＝AH，PG＝BH，則B（，），將點B坐標代入拋物線，得，根據△的值始終大于0即可作出判斷；（3）（，）．

【解析】

試題分析：（1）由題意聯立方程組即可求得A、B兩點的坐標；

（2）①根據函數圖象上的點的坐標的特征結合PA＝AB即可求得A點的坐標；

②過點P、B分別作過點A且平行于軸的直線的垂線，垂足分別為G、H.設P（，），A（，），由PA＝PB可證得△PAG≌△BAH，即得AG＝AH，PG＝BH，則B（，），將點B坐標代入拋物線，得，根據△的值始終大于0即可作出判斷；

（3）設直線：交y軸于D，設A（，），B（，）．過A、B兩點分別作AG、BH垂直軸于G、H．由△AOB的外心在AB上可得∠AOB＝90°，由△AGO∽△OHB，得，則，聯立得，依題意得、是方程的兩根，即可求得b的值，設P（，），過點P作PQ⊥軸于Q，在Rt△PDQ中，根據勾股定理列方程求解即可.

（1）依題意，得解得， 

∴A（，），B（1，1）；

（2）①A₁（－1，1），A₂（－3，9）；

②過點P、B分別作過點A且平行于軸的直線的垂線，垂足分別為G、H.

設P（，），A（，），

∵PA＝PB，

∴△PAG≌△BAH，

∴AG＝AH，PG＝BH，

∴B（，），

將點B坐標代入拋物線，得，

∵△＝

∴無論為何值時，關于的方程總有兩個不等的實數解，即對于任意給定的點P，拋物線上總能找到兩個滿足條件的點A；

（3）設直線：交y軸于D，設A（，），B（，）．

過A、B兩點分別作AG、BH垂直軸于G、H．

∵△AOB的外心在AB上，

∴∠AOB＝90°，

由△AGO∽△OHB，得，

∴．

聯立得，

依題意得、是方程的兩根，

∴，

∴，即D（0，1）．

∵∠BPC＝∠OCP，

∴DP＝DC＝3．

設P（，），過點P作PQ⊥軸于Q，

在Rt△PDQ中，，

∴．

解得（舍去），，

∴P（，）．

∵PN平分∠MNQ，

∴PT＝NT，

∴.

考點：二次函數的綜合題

點評：此類問題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現，難度較大.