Question

如圖，在△ABC中，點Q、P分別是邊AC、BC上的點，AQ=PQ，PR⊥AB于點R，PS⊥AC于點S，且PR=PS，則下列結論：①AP平分∠BAC；②QP∥AB；③AS=AR；④△BPR≌△QSP，其中正確的有（ ）

A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①③④

Answer 1

【答案】分析：根據到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上可得AP平分∠BAC，從而判斷出①正確，然后根據等邊對等角的性質可得∠APQ=∠PAQ，然后得到∠APQ=∠PAR，然后根據內錯角相等兩直線平行可得QP∥AB，從而判斷出②正確，然后證明出△APR與△APS全等，根據全等三角形對應邊相等即可得到③正確，④兩三角形只能確定一直角邊相等，已知角相等，其他條件都無法確定，所以不一定正確．
解答：解：∵PR⊥AB于點R，PS⊥AC于點S，且PR=PS，
∴點P在∠BAC的平分線上，
即AP平分∠BAC，故①正確；
∴∠PAR=∠PAQ，
∵AQ=PQ，
∴∠APQ=∠PAQ，
∴∠APQ=∠PAR，
∴QP∥AB，故②正確；
在△APR與△APS中，，
∴△APR≌△APS（HL），
∴AR=AS，故③正確；
△BPR和△QSP只能知道PR=PS，∠BRP=∠QSP=90°，其他條件不容易得到，所以，不一定全等．
故④錯誤．
綜上所述，①②③正確．
故選A．
點評：本題考查了角平分線的性質與全等三角形的判定與性質，準確識圖并熟練掌握全等三角形的判定方法與性質是解題的關鍵．