Question

21、已知關于x的一元二次方程x²+2（k-1）x+k²-1=0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求實數(shù)k的取值范圍；
（2）0可能是方程的一個根嗎？若是，請求出它的另一個根；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根，必須滿足△=b²-4ac＞0，由此可以得到關于k的不等式，然后解不等式即可求出實數(shù)k的取值范圍；
（2）利用假設的方法，求出它的另一個根．

解答：解：（1）∵△=[2（k-1）]²-4（k²-1）
=4k²-8k+4-4k²+4=-8k+8，
又∵原方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴-8k+8＞0，
解得k＜1，
即實數(shù)k的取值范圍是k＜1；

（2）假設0是方程的一個根，
則代入原方程得0²+2（k-1）•0+k²-1=0，
解得k=-1或k=1（舍去），
即當k=-1時，0就為原方程的一個根，
此時原方程變?yōu)閤²-4x=0，
解得x₁=0，x₂=4，
所以它的另一個根是4．

點評：總結一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．