Question

已知菱形ABCD的兩條對角線的長分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點，P是對角線BD上一點，則PM+PN的最小值=　 　．

Answer 1

5

如圖，設線段AB的中點為Q，由菱形的對稱性可知，點Q與點M關于直線BD對稱，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時MP+NP的值最小，證出MP+NP=QN=BC；如圖2，連接AC，設對角線AC、BD相交于點O，求出CO、BO，根據勾股定理求出BC長，即可得出答案．
解：如圖，設線段AB的中點為Q，由菱形的對稱性可知，點Q與點M關于直線BD對稱，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時MP+NP的值最小．

∵N為CD中點，Q為AB中點，四邊形ABCD是菱形，
∴BQ∥CN，BQ=CN，
∴四邊形BQNC是平行四邊形，
∴NQ=BC，
如圖，連接AC，設對角線AC、BD相交于點O．

∵四邊形ABCD是菱形，
∴OC=AC=3，OB=BD=4，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=5，
即圖1中QN=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
故答案為：5．