Question

如圖1，等腰直角三角板的一個銳角頂點與正方形ABCD的頂點A重合，將此三角板繞點A旋轉，使三角板中該銳角的兩條邊分別交正方形的兩邊BC，DC于點E，F(xiàn)，連接EF．
（1）猜想BE、EF、DF三條線段之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想；
（2）在圖1中，過點A作AM⊥EF于點M，請直接寫出AM和AB的數(shù)量關系；
（3）如圖2，將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點，∠EAF=∠BAD，連接EF，過點A作AM⊥EF于點M，試猜想AM與AB之間的數(shù)量關系．并證明你的猜想．

Answer 1

（1）EF=BE+DF見解析   （2）AM=AB見解析   （3）AM=AB見解析

（1）EF=BE+DF，
證明：如答圖1，延長CB到Q，使BQ=DF，連接AQ，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°，
在△ADF和△ABQ中

∴△ADF≌△ABQ（SAS），
∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF，
∵∠DAB=90°，∠FAE=45°，
∴∠DAF+∠BAE=45°，
∴∠BAE+∠BAQ=45°，
即∠EAQ=∠FAE，
在△EAQ和△EAF中

∴△EAQ≌△EAF，
∴EF=EQ=BE+BQ=BE+DF．
（2）解：AM=AB，
理由是：∵△EAQ≌△EAF，
∴×EQ×AB=×FE×AM，
又∵EF=EQ，
∴AM=AB．
（3）AM=AB，
證明：如答圖2，延長CB到Q，使BQ=DF，連接AQ，

∵折疊后B和D重合，
∴AD=AB，∠D=∠ABE=90°，∠BAC=∠DAC=∠BAD，
在△ADF和△ABQ中，

∴△ADF≌△ABQ（SAS），
∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF，
∵∠FAE=∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAQ=∠EAQ=∠BAD，
即∠EAQ=∠FAE，
在△EAQ和△EAF中，

∴△EAQ≌△EAF（SAS），
∴EF=EQ，
∵△EAQ≌△EAF，EF=EQ，
∴×EQ×AB=×FE×AM，
∴AM=AB．
（1）延長CB到Q，使BQ=DF，連接AQ，根據(jù)四邊形ABCD是正方形求出AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°，證△ADF≌△ABQ，推出AQ=AF，∠QAB=∠DAF，求出∠EAQ=∠F，證△EAQ≌△EAF，推出EF=BQ即可；
（2）根據(jù)△EAQ≌△EAF，EF=BQ得出×BQ×AB=×FE×AM，求出即可；
（3）延長CB到Q，使BQ=DF，連接AQ，根據(jù)折疊和已知得出AD=AB，∠D=∠ABE=90°，∠BAC=∠DAC=∠BAD，證△ADF≌△ABQ，推出AQ=AF，∠QAB=∠DAF，求出∠EAQ=∠FAE，證明EAQ≌△EAF，推出EF=EQ即可．