Question

在Rt△ABC中，AB=BC=5，∠B=90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AC的中點(diǎn)O處，將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交AB，BC或其延長(zhǎng)線于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，如圖①與②是旋轉(zhuǎn)三角板所得圖形的兩種情況．
【小題1】三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，△OFC是否能成為等腰直角三角形？若能，指出所有情況（即  
給出△OFC是等腰直角三角形時(shí)BF的長(zhǎng)）；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
【小題2】三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，線段OE和OF之間有什么數(shù)量關(guān)系？用圖①或②加以證明；
【小題3】若將三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊上的點(diǎn)P處（如圖③），當(dāng)AP:AC=1:4時(shí)，PE和          
PF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．

Answer 1

【小題1】△OFC是能成為等腰直角三角形，
①當(dāng)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，
∵O點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，AB=BC=5， ∴OF∥AB，    ∴CF=OF=，    ∴BF=
②當(dāng)B與F重合時(shí)，   ∵OF=OC=，     ∴BF=0
【小題1】如圖一，連接OB，  ∵由（1）的結(jié)論可知，BO=OC=，
∵∠EOB=∠FOC，∠EBO=∠C        ∴△OEB≌△OFC，      ∴OE=OF
【小題1】如圖二，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB，PN⊥BC，
∵∠EPM+∠EPN=∠EPN+∠FPN=90°，       ∴∠EPM=∠FPN，
∵∠EMP=∠FNP=90°，       ∴△PNF∽△PME，     ∴PM：PN=PE：PF，
∵△APM和△PNC為等腰直角三角形，      ∴△APM∽△PNC，    ∴PM：PN=AP：PC，
∵PA：AC=1：4，        ∴AP：PC=1：3，     ∴PE：PF=1：3．

解析【小題1】由題意可知，①當(dāng)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，由AB=BC=5，可以推出CF和OF的長(zhǎng)度，即可推出BF的長(zhǎng)度，②當(dāng)B與F重合時(shí)，根據(jù)直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，即可推出OF的長(zhǎng)度，即可推出BF的長(zhǎng)度；
【小題1】連接OB，由已知條件推出△OEB≌△OFC，即可推出OE=OF；
【小題1】過(guò)點(diǎn)P做PM⊥AB，PN⊥BC，結(jié)合圖形推出△PNF∽△PME，△APM∽△PNC，繼而推出PM：PN=PE：PF，PM：PN=AP：PC，根據(jù)已知條件即可推出PA：AC=PE：PF=1：4．