Question

【題目】[感知]

如圖①，△ABC是等邊三角形，D是邊BC上一點（點D不與點B、C重合），作∠EDF=60°，使角的兩邊分別交邊AB、AC于點E、F，且BD=CF．若DE⊥BC，則∠DFC的大小是　 　度；

[探究]

如圖②，△ABC是等邊三角形，D是邊BC上一點（點D不與點B、C重合），作∠EDF=60°，使角的兩邊分別交邊AB、AC于點E、F，且BD=CF．求證：BE=CD；

[應用]

在圖③中，若D是邊BC的中點，且AB=2，其它條件不變，如圖③所示，則四邊形AEDF的周長為　 　．

Answer 1

【答案】（1）90；（2）詳見解析；（3）4

【解析】

[感知]由等邊三角形性質知∠B=∠C=60°，根據DE⊥BC，∠EDF=60°知∠BED=∠CDF=30°，據此可得答案．

[探究]由∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED，且∠EDF=∠B=60°知∠CDF=∠BED，據此證△BDE≌△CFD可得答案．

[應用]先得出BD=CD=CF=AF=1，再由[探究]知△BDE≌△CFD，據此得BE=CD=1，DE=DF，結合∠B=60°知△BDE是等邊三角形，得出DE=DF=1，再進一步求解可得答案．

[感知]如圖1．

∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°．

∵DE⊥BC，即∠BDE=90°，∠EDF=60°，∴∠BED=∠CDF=30°，∴∠DFC=90°．

故答案為：90．

[探究]∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°．

∵∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED，且∠EDF=60°，∴∠CDF=∠BED．

在△BDE和△CFD中，∵，∴△BDE≌△CFD（AAS），∴BE=CD．

[應用]∵△ABC是等邊三角形，AB=2，∴∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=2．

∵D為BC中點，且BD=CF，∴BD=CD=CF=AF=1，由[探究]知△BDE≌△CFD，∴BE=CD=1，DE=DF．

∵∠B=60°，∴△BDE是等邊三角形，∴DE=DF=1，則四邊形AEDF的周長為AE+DE+DF+AF=4．

故答案為：4．