Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，DA平分∠CAB交BC于點D．問能否在AB上確定一點E，使△BDE的周長等于AB的長？若能請作出E點，并給出證明；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：首先過點D作DE⊥AB于點E，由角平分線的性質，可證得DC=DE，繼而可證得AE=AC，又由在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，可證得AE=BC，△BDE是等腰直角三角形，繼而證得△BDE的周長等于AB．

解答：解：能在AB上確定一點E，使△BDE的周長等于AB的長．
證明：過點D作DE⊥AB于點E，
∵在△ABC中，∠C=90°，DA平分∠CAB，
∴DC=DE，∠CDA=∠EDA，
∴AE=AC，
∵AC=BC，
∴∠B=45°，BC=AE，
∴△BED是等腰直角三角形，
∴DE=BE，
∴△BDE的周長為：DE+BD+BE=DC+BD+BE=BC+BE=AE+BE=AB．

點評：此題考查了角平分線的性質以及等腰直角三角形性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．