Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，內切圓O與邊BC、AC、AB分別切于D、E、F．
（1）求證：BF=CE；
（2）若∠C=30°，CE=2

3

，求AC．

Answer 1

分析：（1）根據切線長定理得到AF=AE，再結合AB=AC，得到BF=CE；
（2）結合（1）的結論和切線長定理，得到D是BC的中點，從而得到A，O，D三點共線．根據等腰三角形的三線合一得到直角三角形ACD．根據切線長定理得到CD=CE，則根據銳角三角函數即可求得AC的長．

解答：（1）證明：∵AE，AF是⊙O的切線；
∴AE=AF，
又∵AC=AB，
∴AC-AE=AB-AF，
∴CE=BF，即BF=CE．

（2）解：連接AO、OD；
∵O是△ABC的內心，
∴OA平分∠BAC，
∵⊙O是△ABC的內切圓，D是切點，
∴OD⊥BC；
又∵AC=AB，
∴A、O、D三點共線，即AD⊥BC，
∵CD、CE是⊙O的切線，
∴CD=CE=2

3

，
在Rt△ACD中，由∠C=30°，CD=2

3

，得
AC=

CD

cos30°

=

2 3

3 2

=4．

點評：此題主要是運用了切線長定理和等腰三角形的三線合一的性質．