Question

42、如圖，在正方形ABCD的邊BC上任取一點M，過點C作CN⊥DM交AB于N，設正方形對角線交點為O，試確定OM與ON之間的關系，并說明理由．

Answer 1

分析：此題的結論是OM=ON；OM⊥ON．可以利用已知條件證明．DCM≌△CBN得CM=BN，再推出△OCM≌△OBN得OM=ON．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴DC=BC，∠DCM=∠NBC=90°，
又∵CN⊥DM交AB于N，
∴∠NCM+∠CMD=90°，
而∠CMD+∠CDM=90°，
∴∠NCM=∠CDM，
∴△DCM≌△CBN，
∴CM=BN，
再根據四邊形ABCD是正方形可以得到
OC=OB，∠OCM=∠OBN=45°，
∴△OCM≌△OBN．
∴OM=ON，∠COM=∠BON，而∠COM+∠MOB=90°，
∴∠BON+∠MOB=90°．
∴∠MON=90°．
∴OM與ON之間的關系是OM=ON；OM⊥ON．

點評：此題把正方形和全等三角形的知識結合起來，主要利用正方形的性質與全等三角形的判定、性質來解題．