Question

（2012•大興區一模）在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，已知拋物線y=x2-(k+2)x+

1

4

k2+1．
（1）k取什么值時，此拋物線與x軸有兩個交點？
（2）此拋物線y=x2-(k+2)x+

1

4

k2+1與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點（點A在點B左側），且x₁+|x₂|=3，求k的值．

Answer 1

分析：（1）此題轉化為關于x的一元二次方程x2-(k+2)x+

1

4

k2+1=0的根的判別式的符號問題，即△＞0時，k的取值范圍；
（2）利用求根公式x=

-b± b2-4ac

2a

求得該方程的兩根，然后根據已知條件“點A在點B左側”、x₁+|x₂|=3即可求得k的值．

解答：解：（1）∵拋物線y=x2-(k+2)x+

1

4

k2+1與x軸有兩個交點，
∴令y=0，即x2-(k+2)x+

1

4

k2+1=0…（1分）
[-(k+2)]2-4×1×(

1

4

k2+1)＞0
k²+4k+4-k²-4＞0
4k＞0
∴k＞0，
即k＞0時，此拋物線與x軸有兩個交點；          

（2）∵拋物線y=x2-(k+2)x+

1

4

k2+1與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點
∴x1，2=

k+2± 4k

2

，
∵點A在點B左側，
即x₁＜x₂，
又∵k＞0，
∴x1=

k+2- 4k

2

，x2=

k+2+ 4k

2

＞0，
∴|x₂|=x₂．
∵x₁+|x₂|=3，
∴x₁+x₂=3，即

k+2+ 4k

2

+

k+2- 4k

2

=3，
解得k=1．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點．在利用求根公式x=

-b± b2-4ac

2a

求得該方程的兩根時，要熟悉該公式中的字母a、b、c所代表的意義．