Question

已知y₁=ax²+bx+c，y₂=ax+b．（其中a＞0），若當-1≤x≤1時，總有|y₁|≤1．
（1）證明：當-1≤x≤1時，|c|≤1；
（2）若當-1≤x≤1時，y₂的最大值為2．求y₁的表達式．

Answer 1

【答案】分析：（1）取-1≤x≤1內的特殊值x=0，即可得到結論|c|≤1；
（2）根據二次函數y₂的最大值為2求得a+b=2，由定義域的取值范圍“-1≤x≤1”知當x=1時，-1≤a+b+c≤1①，所以聯合（1）中的c的取值范圍求得c=-1；然后由二次函數y₁的最小值求得b=0，從而知a=2，將a、b、c的值代入二次函數y₁=ax²+bx+c，即可求得y₁的表達式．
解答：解：（1）由-1≤x≤1時，總有|y₁|≤1．
令x=0，得|c|≤1；（12分）

（2）在y₁=ax²+bx+c中．令x=1得-1≤a+b+c≤1①
∵y₂=ax+b．（其中a＞0）的最大值為2
∴a+b=2代入①得-1≤2+c≤1-3≤c≤-1
而由（1）知-1≤c≤1
∴c=-1 （8分）
?y₁=ax²+bx-1?x=0時，y₁取得最小值為-1
∴故必有b=0．?a=2?y₁=2x²-1．（12分）
點評：本題主要考查了二次函數的綜合題．解答該題時，在定義域內取特殊值來求二次函數的系數，即利用待定系數法求得二次函數的解析式．