Question

如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE、AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．以下五個結論：①∠AOB=60°；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP ⑤PQ²=PO•QE；恒成立的結論有    （把你認為正確的序號都填上）．

Answer 1

【答案】分析：①由于△ABC和△CDE是等邊三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，根據SAS證出△ACD≌△BCE，得出∠CAD=∠CBE，再根據三角形外角的性質得出∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB=∠ACB=60°，可知①正確；
②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根據∠PCQ=60°推出△PCQ為等邊三角形，又由∠ACB=∠CPQ，根據內錯角相等，兩直線平行，可知②正確；
③根據②△ACP≌△BCQ（ASA），可知③正確；
④根據∠DPC=∠DAC+∠BCA＞60°=∠DCP，可知DC＞DP，從而有DE＞DP，可知④錯誤；
⑤先由△OAB∽△CEQ，得出OB：CQ=AB：EQ，由△OPB∽△CPA，得出OP：CP=OB：CA，再將兩式相乘，結合等邊三角形的性質，可知⑤正確．
解答：解：∵△ABC、△DCE為正三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，
∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，
∴∠AOB=60°，故①正確；

∵△ACD≌△BCE（已證），
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=∠ECD=60°（已證），
∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，
∴∠ACB=∠BCQ=60°，
在△ACP與△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP=BQ，故③正確；PC=QC，
∴△PCQ是等邊三角形，
∴∠CPQ=60°，
∴∠ACB=∠CPQ，
∴PQ∥AE，故②正確；

∵∠DCE=∠BCA=60°，∴∠DCP=60°，
又∵∠DPC=∠DAC+∠BCA，∠BCA=60°，
∴∠DPC＞60°=∠DCP，
∴DC＞DP，
∵DC=DE，
∴DE＞DP，
故DP不等于DE，故④錯誤；

∵∠AOB=∠ECQ=60°，∠OAB=∠CDA=∠CEQ，
∴△OAB∽△CEQ，
∴OB：CQ=AB：EQ，（1）
∵∠POB=∠PCA=60°，∠OPB=∠CPA，
∴△OPB∽△CPA，
∴OP：CP=OB：CA，（2）
∵CQ=CP=PQ，AB=CA，
∴將（1）×（2），得
（OB×OP）：（PQ²）=（AB×OB）：（EQ×CA），
∴PQ²×AB×OB=OB×OP×EQ×CA，
∴PQ²=OP×EQ，故⑤正確．
故答案①②③⑤．
點評：本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，平行線的判定，相似三角形的判定與性質，綜合性質較強，難度不是很大，是熱點題目，仔細分析圖形是解題的關鍵．