Question

如圖1，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE．
（1）求證：S_△ABD=S_△ACE；
（2）如圖2，AM是△ACE的中線，MA的延長線交BD于N，求證：MN⊥BD．

Answer 1

分析：（1）過B作BM⊥DA于M，過C作CN⊥EA交EA的延長線于N，根據銳角三角函數求出BM=CN，根據三角形的面積公式即可求出答案；
（2）延長AM到N使AM=QN，連接AQ、EQ，求出四邊形ACQE是平行四邊形，推出AC=EQ=AB，AE=CQ=AD，AC∥EQ，求出∠BAD=∠AEQ，根據SAS證△BAD≌△QEA，推出∠BDA=∠EAN，求出∠BDA+∠NAD=90°，求出∠DNA=90°即可．

解答：證明：（1）過B作BM⊥DA于M，過C作CN⊥EA交EA的延長線于N，如圖，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=180°，
∵∠CAN+∠CAE=180°，
∴∠BAD=∠CAN
∵sin∠BAD=

BM

AB

，sin∠CAN=

CN

AC

，
又∵AB=AC，
∴BM=CN，
∵DA=AE，
S_△ABD=

1

2

DN×BM，S_△ACE=

1

2

AE×CN，
∴S_△ADB=S_△ACE．

（2）延長AM到Q使AM=QM，連接AQ、EQ，如圖，
∵AM是△ACE中線，
∴CM=EM，
∴四邊形ACQE是平行四邊形，
∴AC=EQ=AB，AE=CQ=AD，AC∥EQ，
∴∠CAE+∠AEQ=180°，
∵∠BAD+∠CAE=180°，
∴∠BAD=∠AEQ，
∵在△BAD和△QEA中

AB=EQ ∠BAD=∠AEQ AD=AE

∴△BAD≌△QEA，
∴∠BDA=∠EAM，
∵∠DAE=90°，
∴∠NAD+∠QAE=90°，
∴∠BDA+∠NAD=90°，
∴∠DNA=180°-90°=90°，
∴MN⊥BD．

點評：本題考查的知識點有全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理，平行四邊形的性質和判定，三角形的面積等，主要考查學生運用定理進行推理的能力，題目比較好，綜合性比較強．