Question

如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D均在已知圓上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四邊形ABCD的周長為15．
（1）求此圓的半徑；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)條件可以證得四邊形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=DC，∠BDC=90°，在直角△BDC中，BC是圓的直徑，BC=2DC，根據(jù)四邊形ABCD的周長為15，即可求得BC，即可得到圓的半徑；
（2）根據(jù)S_陰影=S_扇形AOD-S_△AOD即可求解．
解答：解：（1）∵AD∥BC，∠BAD=120°，
∴∠ABC=∠DCB=180°-∠BAD=180°-120°=60°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=30°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠BDC=90°
∴BC是圓的直徑．
∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°
∴==，∠BCD=60°
∴AB=AD=DC，
∵BC是直徑，
∴∠BDC=90°，
在直角△BDC中，BC是圓的直徑，BC=2DC．
∴BC+BC=15，
解得：BC=6
故此圓的半徑為3．

（2）設(shè)BC的中點(diǎn)為O，由（1）可知O即為圓心．
連接OA，OD，過O作OE⊥AD于E．
在直角△AOE中，∠AOE=30°
∴OE=OA•cos30°=
S_△AOD=×3×=．
∴S_陰影=S_扇形AOD-S_△AOD=-=-=．
點(diǎn)評：本題主要考查了扇形的面積的計(jì)算，正確證得四邊形ABCD是等腰梯形，是解題的關(guān)鍵．