Question

已知關于x的一元二次方程x²=（2k+1）x-k²+2有兩個實數根為x₁，x₂．
（1）求k的取值范圍；
（2）設y=x₁+x₂，當y取得最小值時，求相應k的值，并求出最小值．

Answer 1

分析：（1）先把方程整理為一元二次方程的一般形式，再根據方程有兩個相等的實數根即可求出k的取值范圍；
（2）根據方程根與系數的關系可得到y=x₁+x₂=2k+1，再根據k的取值范圍即可求出k的最小值．

解答：解：（1）將原方程整理為x²-（2k+1）x+k²-2=0（1分）
∵原方程有兩個實數根，
∴

△=[-(2k+1)]2-4×1×(k2-2) =4k+9≥0

（4分）
解得k≥-

9

4

；（6分）

（2）∵x₁，x₂為x²-（2k+1）x+k²-2=0的兩根，
∴y=x₁+x₂=2k+1，且k≥-

9

4

（8分）
因而y隨k的增大而增大，故當k=-

9

4

時，y有最小值-

7

2

．（10分）
故答案為：k≥-

9

4

，-

7

2

．

點評：本題考查的是一元二次方程根的判別式及根與系數的關系，比較簡單．