Question

問題：如圖（12），在菱形和菱形中，點在同一條直線上，是線段 的中點，連結．探究與的位置關系及的值．小聰同學的思路是：延長交于點，構造全等三角形，經過推理使問題得到解決．

請你參考小聰同學的思路，探究并解決下列問題：

1.若圖（12）中，寫出線段與的位置關系及的值，并說明理由；

2.將圖（12）中的菱形繞點順時針旋轉，使菱形的對角線恰好與菱形的邊在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖13）．你在（1）中得到的兩個結論是否發生變化？寫出你的猜想并加以證明．

3.若圖（12）中，將菱形繞點順時針旋轉任意角度，原問題中的其他條件不變，請你直接寫出的值（用含的式子表示）．

解：（1）線段與的位置關系是          ；         ．

 

Answer 1

 

1.線段與的位置關系是， ；………………………………4分

2.猜想：（1）中的結論沒有發生變化．   ………………………………………5分

簡證：延長GP交AD于點H，連結CH，CG．

易證△GFP≌△HDP（AAS）．

 ∴GP＝HP，GF＝HD．

又易證△HDC≌△GBC

∴CH＝CG，∠DCH＝∠BCG．

∵∠DCH ＝120°．

∵CH＝CG，GP＝HP．

∴ GP⊥PC，∠GCP＝∠HCP＝60° ，則．……………………10分

3.   ………………………………………………………12分

解析:（1）.按照小聰的思路作完圖之后，GF平行于AB平行于CD,P又是中點，∠HDP=∠GFP, ∠HPD=∠GPE,P為中點，所以△HDP全等于△GFP,這樣DH=GF,所以CH=CG，則有等腰△CHG，有P為HG中點,所以PC⊥PG,因為菱形ABCD∠ABC=60°度所以∠DCB=120 °CP為角平分線，∠ PCG=60°PG:PC=√3

（2） 結論不變。延長CP交AB于M，連CG,MG。因為P是DF重點，所以DC=MF，CP=MP。有MF=CD=BC。考慮△CGB與△MGF，有BC=MF，∠CBG=∠MFG=60°，BG=GF，因此兩三角形全等。從而CG=MG，∠CGB=∠MGF。因為∠CGB=∠CGM+∠GMB=∠MGF=∠FGB+∠BGM，因此∠CGM=∠FGB=60°，又有CG=GM，所以△CGM是等邊三角形，且P是CM中點，從而原結論在此也成立。

 

（3） 延長CP至M，使PM=PC，連MF交BG于N。易知CD‖MF‖AB。與上小問類似，可知MF=DC=BC，FG=BG。因為MF‖AB，有∠ABG=∠MNG，而∠ABG=∠ABC+∠CBG，∠MNG=∠BGF+∠GFM。因為∠ABC=∠BEF=∠BGF，所以∠CBG=∠MFG。又有BG=FG，MF=BC，所以△CBG與△MFG全等。因此與上小問類似，有CG=MG，∠CGM=∠FGB=2a。因此∠CGP=a且PG⊥PC，因此PG:PC=cot(a).