Question

已知點A是直線y=-3x+6與y軸的交點，點B在第四象限且在直線y=-3x+6上，線段AB的長度是3．將直線y=-3x+6繞點A旋轉，記點B的對應點是B₁，
（1）若點B₁與B關于y軸對稱，求點B₁的坐標；
（2）若點B₁恰好落在x軸上，求sin∠B₁AB的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求點B₁的坐標，求出點B坐標即可．過點B作BD⊥Y軸，垂足為D，利用三角形相似就可以求出B的坐標；
（2）欲求sin∠B₁AB的值，需構建直角三角形，因此過B₁作B₁E⊥AC，垂足為E，運用面積法求出B₁E即解．
解答：解：（1）如圖，設直線y=-3x+6與x軸交于點C，
則C（2，0）．
∴AC==2，
過點B作BD⊥y軸，垂足為D，
∴△AOC∽△ADB，
∴=，
∴DB==，
又∵=，
∴AD==，
∴OD=-6，
=，
∴點B（，），
∴點B₁（-，）；

（2）當直線AB繞點A順時針旋轉，點B的對應點落在x負半軸上時，記點B的對應點為B₁．
∵AB=3
由旋轉的性質可知AB₁=AB=3，
∴B₁O==3，
B₁C=5，
過B₁作B₁E垂直AC，垂足為E．
則有×B₁E×AC=×AO×B₁C，
∴B₁E==，
在Rt△AB₁E中，sin∠B₁AB===，
當直線AB繞點A逆時針旋轉，點B的對應點落在x正半軸上時，記點B的對應點為B₂．
則B₂O=3，
過B₂向AB作垂線B₂F，垂足為F．
∵∠B₁EC=∠B₂FC=90°，∠ECB₁=∠FCB₂
∴△B₁EC∽△B₂FC，
∴=，
∴FB₂=，
在Rt△AFB₂中，sin∠B₂AF===，
∴sin∠B₁AB的值是或．
點評：此題主要考查一次函數的圖形和性質、相似三角形判定和性質及三角函數定義，此外還考查了對稱和旋轉的性質，綜合性比較強．