Question

已知如圖，拋物線y=ax²+bx-a的圖像與x軸交于A、B兩點，點A在點B的左邊，頂點坐標為C（0，-4），直線x=m（m>1）與x軸交于點D。

（1）求拋物線的解析式；
（2）在直線x=m（m>1）上有一點P（點P在第一象限），使得以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似，求P點坐標（用含m的代數式表示）；
（3）在（2）成立的條件下，試問：拋物線y=ax²+bx-a是否存在一點Q，使得四邊形ABPQ為平行四邊形？如果存在這樣的點Q，請求出m的值；如果不存在，請簡要說明理由。

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-a的頂點坐標為C（0，-4），
∴b=0，a=4，
∴拋物線的解析式為y=4x²-4；
（2）設P（m，n），由4x²-4=0，
∴x=±1，
∴A（-1，0），B（0，1），
∵△OBC∽△PBD，
若∠OCB=∠PBD，則，
∴，
∴，此時，
若∠OCB=∠BPD，則，∴，
∴n=4（m-1），此時P（m，4（m-1））；
（3）假設拋物線存在點Q（x，y）使四邊形ABPQ為平行四邊形，
當P（m，4m-4）時，AP的中點R的坐標為：，
又∵R又是BQ的中點，
∴，Q（m-2，4（m-1）），
 ∵Q在拋物線上，
∴4（m-1）=4（m-2）²-4，
∴m-1=m²-4m+4-1，
∴m²-5m+4=0，
∴m=4或m=1（舍去），
當P點坐標為時，同理，，，
∴16m²-65m+49=0，m=或m=1（舍去），
∴當m=4或時，AP與BQ互相平分，四邊形ABPQ是平行四邊形，
∴m=4或為所求。