Question

已知如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于B（1，0）、C（4，0）兩點，與y軸的正半軸相交于A點，過A、B、C三點的⊙P與y軸相切于點A．
（1）請求出點A坐標和⊙P的半徑；
（2）請確定拋物線的解析式；
（3）M為y軸負半軸上的一個動點，直線MB交⊙P于點D．若△AOB與以A、B、D為頂點的三角形相似，求MB•MD的值．（先畫出符合題意的示意圖再求解）．

Answer 1

分析：（1）利用切割線定理以及矩形的性質得出點A坐標和⊙P的半徑；
（2）將B（1，0）、C（4，0），A（0，2）帶入y=ax²+bx+c求出a，b，c進而得出解析式即可；
（3）根據題意∠OAB=∠ADB，得出△AOB和△ABD相似有兩種情況進而得出即可．

解答：解：（1）∵OA是⊙P的切線，OC是⊙P的割線．
∴OA²=OB×OC，
即OA²=1×4，
∴OA=2，
即點A點坐標是（0，2）
如圖1，連接PA，過P作PE⊥CO交OC于E顯然，四邊形PAOE為矩形，
故PA=OE，
∵PE⊥BC，
∴BE=CE，
又∵BC=3，
∴BE=

3

2

，
∴PA=OE=OB+BE=1+

3

2

=

5

2

，
即⊙P的半徑長為

5

2

．

（2）將B（1，0）、C（4，0），A（0，2）帶入y=ax²+bx+c得：

a+b+c=0 16a+4b+c=0 c=2

，
解得：

a= 1 2 b=- 5 2 c=2

，
故拋物線的解析式是：y=

1

2

x2-

5

2

x+2；

（3）根據題意∠OAB=∠ADB，
所以△AOB和△ABD相似有兩種情況
①∠ABD和∠AOB對應，
如圖1，此時AD是⊙P的直徑則AB=

5

，AD=5
∴BD=2

5

，
∵Rt△AMB∽Rt△DAB，
∴MA：AD=AB：BD，
即MA=

AB•AD

BD

=

5

2

，
∵Rt△AMB∽Rt△DMA，
∴MA：MD=MB：MA
即MB•MD=MA²=

25

4

，
②∠BAD和∠AOB對應，
如圖2，此時BD是⊙P的直徑，所以直線MB過P點
∵B（1，0），P（

5

2

，2），
∴直線MB的解析式是：y=

4

3

x-

4

3

∴M點的坐標為（0，-

4

3

），
∴AM=

10

3

，
由△MAB∽△MDA，
得MA：MD=MB：MA
∴MB•MD=MA²=

100

9

．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及相似三角形的判定與性質等知識，根據已知得圖形進行分類討論是解題關鍵．