Question

（2007•肇慶）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2a，CD=a，BC=2，四邊形BEFG是矩形，點E、F分別在腰BC、AD上，點G在AB上．設FG=x，矩形BEFG的面積為y．
（1）求y關于x的函數關系式；
（2）當矩形BEFG的面積等于梯形ABCD的面積的一半時，求x的值；
（3）當∠DAB=30°時，矩形BEFG是否能成為正方形？若能，求其邊長；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點D作DH⊥AB于H．由于△AGF∽△AHD，得到AG的值，有BG=AB-AG，再利用y=S_矩形=FG•BG而得到y關于x的函數關系式．
（2）求得梯形的面積，由矩形BEFG的面積等于梯形ABCD的面積的一半建立方程，求得x的值．
（3）由正切的概念可得到CD=2，從而得到EF＞2＞FG，故矩形BEFG不能成為正方形．
解答：解：（1）過點D作DH⊥AB于H，
∵在矩形BEFG中，FG⊥AB，所以FG∥DH，
∴△AGF∽△AHD，
∴，
即，得，
∴．
因此，
∵y=FG•BG=x×=-ax²+2ax，
即所求的函數關系式為y=-ax²+2ax （0＜x＜2）．

（2）依題意，得-ax²+2ax=×（a+2a）×2，
因為a≠0，解以上方程得，x₁=1，x₂=3．
因為0＜x≤2，所以x=3舍去，取x=1．
故當矩形BEFG的面積等于梯形ABCD的面積的一半時，x的值為1．

（3）矩形BEFG不能成為正方形．
在Rt△AHD中，∵∠DAH=30°，∴，即
EF≥CD=a=2，即EF＞2．
又∵0＜x≤2，即0＜FG≤2，∴EF＞FG，
因此矩形BEFG不能成為正方形．
點評：本題利用了梯形和矩形的性質，相似三角形的判定和性質，正切的概念求解，還應用了一元二次方程的解法．