Question

（2002•湖州）如圖，已知P、A、B是x軸上的三點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），且PA：AB=1：2，以AB為直徑畫⊙M交y軸的正半軸于點(diǎn)C．
（1）求證：PC是⊙M的切線；
（2）在x軸上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得直線QC與過(guò)A、C、B三點(diǎn)的拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）畫⊙N，使得圓心N在x軸的負(fù)半軸上，⊙N與⊙M外切、且與直線PC相切于D．問(wèn)將過(guò)A、C、B三點(diǎn)的拋物線平移后能否同時(shí)經(jīng)過(guò)P、D、A三點(diǎn)，為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）證PC是⊙M的切線，只需連接CM，證CM⊥PC即可．已知了PA：AB=1：2．因此PA=AM．根據(jù)A和B的坐標(biāo)可知AB=4，因此AO=MO=1，MC=2，在直角三角形MOC中，∠CMO=60°，由此可得出三角形AMC是等邊三角形，因此AC=AM=PA，由此可證得三角形PCM是直角三角形，且∠PCM=90°，由此得證．
（2）可假設(shè)符合條件的Q點(diǎn)存在，先設(shè)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)Q和C的坐標(biāo)，表示出直線QC的函數(shù)解析式，然后聯(lián)立拋物線的解析式，由于這兩個(gè)函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，因此聯(lián)立兩函數(shù)得出的一元二次方程中，△=0，可據(jù)此求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）本題要先求出D點(diǎn)坐標(biāo)，可連接DN，那么DN∥MC，即可得出關(guān)于DN，MC，PN，PM的比例關(guān)系式，即可求出圓N的半徑．然后過(guò)D作DH⊥x軸于H，可在直角三角形PDN中，用射影定理求出NE的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出DE的長(zhǎng)，也就求出了D點(diǎn)的坐標(biāo)．然后先求出經(jīng)過(guò)平移后過(guò)P、A的拋物線的解析式，然后將D點(diǎn)坐標(biāo)代入進(jìn)行驗(yàn)證即可．
解答：（1）證明：連接MC．
∵A（-1，0），B（3，0）
∴AO=MO，又CO⊥AM
∴AC=CM，由CM=AM
∴△ACM是正三角形；
∴AC=AM
∵PA：PB=1：2，
∴PA=AM
∴PA=AM=AC
∴∠PCM=90°
∴PC是⊙M的切線．

（2）解：∵CO²=AO•BO，
∴C（0，）；
設(shè)過(guò)A、C、B三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），
則=-3a，a=-．
∴y=-（x+1）（x-3）．
假設(shè)滿足條件的Q點(diǎn)存在，坐標(biāo)為（m，0），并設(shè)直線QC的解析式為y=kx+b，
則，
解得
∴直線QC的解析式為y=-x+
∵直線QC與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)
∴方程-（x+1）（x-3）=-x+有相等的實(shí)數(shù)根，
將方程整理得x²-（2+）x=0；
∴（2+）²=0，m=-．
即滿足條件的Q點(diǎn)存在，坐標(biāo)為（-，0）．

（3）解：連接DN，作DH⊥PN，垂足為H，設(shè)⊙N的半徑為r；
∵ND⊥PC，
∴ND∥MC；
∴，
∴=，
∴r=．
∵DN²=NH•NP
∴（）²=NH•（2-）
∴NH=，
∴DH==．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，）
∵將拋物線y=-（x+1）（x-3）平移，使其經(jīng)過(guò)P、A兩點(diǎn)的拋物線的解析式為y=-（x+1）（x+3）；又經(jīng)驗(yàn)證D是該拋物線上的點(diǎn)．
∴將過(guò)A、C、B三點(diǎn)的拋物線平移后能同時(shí)經(jīng)過(guò)P、D、A三點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題以二次函數(shù)為背景，結(jié)合圓、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象的平移等問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)．