Question

（2002•湖州）如圖，已知P、A、B是x軸上的三點，點A的坐標為（-1，0），點B的坐標為（3，0），且PA：AB=1：2，以AB為直徑畫⊙M交y軸的正半軸于點C．
（1）求證：PC是⊙M的切線；
（2）在x軸上是否存在這樣的點Q，使得直線QC與過A、C、B三點的拋物線只有一個交點？若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）畫⊙N，使得圓心N在x軸的負半軸上，⊙N與⊙M外切、且與直線PC相切于D．問將過A、C、B三點的拋物線平移后能否同時經過P、D、A三點，為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）證PC是⊙M的切線，只需連接CM，證CM⊥PC即可．已知了PA：AB=1：2．因此PA=AM．根據A和B的坐標可知AB=4，因此AO=MO=1，MC=2，在直角三角形MOC中，∠CMO=60°，由此可得出三角形AMC是等邊三角形，因此AC=AM=PA，由此可證得三角形PCM是直角三角形，且∠PCM=90°，由此得證．
（2）可假設符合條件的Q點存在，先設出Q點的坐標，然后根據Q和C的坐標，表示出直線QC的函數解析式，然后聯立拋物線的解析式，由于這兩個函數圖象只有一個交點，因此聯立兩函數得出的一元二次方程中，△=0，可據此求出Q點的坐標．
（3）本題要先求出D點坐標，可連接DN，那么DN∥MC，即可得出關于DN，MC，PN，PM的比例關系式，即可求出圓N的半徑．然后過D作DH⊥x軸于H，可在直角三角形PDN中，用射影定理求出NE的長，進而可求出DE的長，也就求出了D點的坐標．然后先求出經過平移后過P、A的拋物線的解析式，然后將D點坐標代入進行驗證即可．
解答：（1）證明：連接MC．
∵A（-1，0），B（3，0）
∴AO=MO，又CO⊥AM
∴AC=CM，由CM=AM
∴△ACM是正三角形；
∴AC=AM
∵PA：PB=1：2，
∴PA=AM
∴PA=AM=AC
∴∠PCM=90°
∴PC是⊙M的切線．

（2）解：∵CO²=AO•BO，
∴C（0，）；
設過A、C、B三點的拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），
則=-3a，a=-．
∴y=-（x+1）（x-3）．
假設滿足條件的Q點存在，坐標為（m，0），并設直線QC的解析式為y=kx+b，
則，
解得
∴直線QC的解析式為y=-x+
∵直線QC與拋物線只有一個公共點
∴方程-（x+1）（x-3）=-x+有相等的實數根，
將方程整理得x²-（2+）x=0；
∴（2+）²=0，m=-．
即滿足條件的Q點存在，坐標為（-，0）．

（3）解：連接DN，作DH⊥PN，垂足為H，設⊙N的半徑為r；
∵ND⊥PC，
∴ND∥MC；
∴，
∴=，
∴r=．
∵DN²=NH•NP
∴（）²=NH•（2-）
∴NH=，
∴DH==．
∴點D的坐標為（-2，）
∵將拋物線y=-（x+1）（x-3）平移，使其經過P、A兩點的拋物線的解析式為y=-（x+1）（x+3）；又經驗證D是該拋物線上的點．
∴將過A、C、B三點的拋物線平移后能同時經過P、D、A三點．
點評：本題以二次函數為背景，結合圓、函數圖象的交點、二次函數圖象的平移等問題，綜合性較強．