Question

已知直線AB∥CD，直線EF與AB、CD分別相交于點E、F．
（1）如圖1，若∠1=60°，求∠2、∠3的度數；
（2）若點P是平面內的一個動點，連結PE、PF，探索∠EPF、∠PEB、∠PFD三個角之間的關系：
①當點P在圖2的位置時，可得∠EPF=∠PEB+∠PFD；
請閱讀下面的解答過程，并填空（理由或數學式）．
解：如圖2，過點P作MN∥AB，
則∠EPM=∠PEB

（兩直線平行，內錯角相等）

∵AB∥CD（已知），MN∥AB（作圖），
∴MN∥CD

（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）

∴∠MPF=∠PFD

（兩直線平行，內錯角相等）

∴

∠EPM+∠FPM

=∠PEB+∠PFD（等式的性質）
即∠EPF=∠PEB+∠PFD．
②當點P在圖3的位置時，請直接寫出∠EPF、∠PEB、∠PFD三個角之間的關系：

∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°

；
③當點P在圖4的位置時，請直接寫出∠EPF、∠PEB、∠PFD三個角之間的關系：

∠EPF+∠PFD=∠PEB

．

Answer 1

分析：（1）根據對頂角相等求∠2，根據兩直線平行，同位角相等求∠3；
（2）①過點P作MN∥AB，根據平行線的性質得∠EPM=∠PEB，且有MN∥CD，所以∠MPF=∠PFD，然后利用等式性質易得∠EPF=∠PEB+∠PFD．
②③的解題方法與①一樣，分別過點P作MN∥AB，然后利用平行線的性質得到三個角之間的關系．

解答：解：（1）∵∠2=∠1，∠1=60°
∴∠2=60°，
∵AB∥CD
∴∠3=∠1=60°；
（2）①如圖2，過點P作MN∥AB，則∠EPM=∠PEB（兩直線平行，內錯角相等）
∵AB∥CD（已知），MN∥AB，
∴MN∥CD（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）
∴∠MPF=∠PFD（兩直線平行，內錯角相等）
∴∠EPM+∠MPF=∠PEB+∠PFD（等式的性質）
即∠EPF=∠PEB+∠PFD；
②∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°；
③∠EPF+∠PFD=∠PEB．
故答案為兩直線平行，內錯角相等；如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；兩直線平行，內錯角相等；∠EPM+∠MPF；∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°；
∠EPF+∠PFD=∠PEB．

點評：本題考查了平行線的判定與性質：同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等．