Question

已知一元二次方程x²－4x＋3=0的兩根是m，n且m＜n.如圖12，若拋物線y=-x²+bx
+c的圖像經過點A（m，0）、B（0，n）.
【小題1】求拋物線的解析式.
【小題2】若（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為C.根據圖像回答，當x取何值時，拋物線的圖像在直線BC的上方？
【小題3】點P在線段OC上，作PE⊥x軸與拋物線交與點E，若直線BC將△CPE的面積分成相等的兩部分，求點P的坐標.

Answer 1

【小題1】∵x²－4x+3=0的兩個根為  x₁=1,x₂=3
∴A點的坐標為（1,0），B點的坐標為（0,3）
又∵拋物線y=－x²+bx+c的圖像經過點A（1,0）、B（0,3）兩點

∴拋物線的解析式為  y=－x²-2x+3
【小題2】作直線BC

由（1）得，y=－x²-2x+3
∵拋物線y=－x²－2x+3與x軸的另一個交點為C 令－x²－2x+3=0
解得：x₁=1，x₂=－3
∴C點的坐標為（－3,0）
由圖可知：當－3＜x＜0時，拋物線的圖像在直線BC的上方.
【小題3】設直線BC交PE于F，P點坐標為（a,0）,則E點坐標為（a，－a²－2a+3）
∵直線BC將△CPE的面積分成相等的兩部分.
∴F是線段PE的中點.
即F點的坐標是（a，）
∵直線BC過點B（0.3）和C(-3,0)
易得直線BC的解析式為y=x+3
∵點F在直線BC上，所以點F的坐標滿足直線BC的解析式
即=a+3
解得  a₁=－1,a₂=－3(此時P點與點C重合，舍去)
∴P點的坐標是（－1,0）

解析