Question

已知Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠A，交BC邊于點D．
（1）根據要求作圖（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫畫法）作線段AD的垂直平分線交AB于E，交AC于F，垂足為H；連接DE．
（2）在（1）所作的圖形中證明：△DHE≌△AHF．

Answer 1

（1）解：如圖所示；

（2）證明：連接ED，
∵AD平分∠A，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF垂直平分AD，
∴AH=EH，EA=ED，
∴∠BAD=∠ADE，
∴∠BAD=∠CAD，
∵在△DHE和△AHF中，
，
∴△DHE≌△AHF（ASA）．
分析：（1）根據線段垂直平分線的作法作圖即可；
（2）首先根據線段垂直平分線的性質可得AH=EH，EA=ED，進而得到∠BAD=∠ADE，再根據角平分線的性質可得∠BAD=∠CAD，進而得到∠BAD=∠CAD，再加上對頂角∠AHF=∠DHE，可利用ASA證明△DHE≌△AHF．
點評：此題主要考查了基本作圖，以及全等三角形的判定與線段垂直平分線的性質，關鍵是掌握全等三角形的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS．