Question

如圖，⊙O的兩條割線AB、AC分別交圓O于D、B、E、C，弦DF∥AC交BC于G．
（1）求證：AC•FG=BC•CG；
（2）若CF=AE．求證：△ABC為等腰三角形．

Answer 1

證明：（1）連接CF，
∵DF∥AC，
∴∠BDF=∠A，∠FGC=∠GCA．
∵∠BCF=∠BDF，
∴∠BCF=∠A．
∴△ABC∽△CFG（AA）．
∴=．
∴AC•FG=BC•CG．

（2）連接DE，
∵DF∥AC，
∴DF∥EC，
∴=
∴DE=CF．
∵CF=AE，
∴DE=AE．
∴∠A=∠ADE．
又∵∠ADE是圓內接四邊形的外角，
∴∠ADE=∠ACB．
∴∠A=∠ACB．
∴△ABC是等腰三角形．
分析：（1）可以從探求題目的結論出發，把問題轉化為證明△ABC∽△CFG，再根據圖形及已知條件，找相似的條件，即兩組角相等．
（2）由圓的兩條平行弦CE，DF所夾的弧相等，則弦DE=CF，可證明△ADE是等腰三角形，再運用圓內接四邊形的外角性質，證明△ABC是等腰三角形．
點評：本題綜合考查圓周角定理，相似三角形的判定，等腰三角形的判定等知識點的運用能力．