Question

【題目】已知，平行四邊形中，對角線的垂直平分線分別交、于點、，連接、；

（1）如圖1，求證：四邊形是菱形；

（2）如圖2，當，點在上，連接，使，過點作于點，作于點，連接，求證：；

（3）如圖3，在（2）的條件下，交于點，若，，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，（2）證明見解析，（3）

【解析】

（1）利用垂直平分線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)證明即可得到答案，

（2）取的中點，過作于 連接，得到在以為圓心，為半徑的圓上，設(shè) 利用圓的性質(zhì)與菱形的性質(zhì)分別表示，從而可得答案，

（3）以為坐標原點，所在的直線為軸，利用平行四邊形與菱形的性質(zhì)求解的坐標，求解的函數(shù)解析式，求解的坐標，直接求的長即可．

證明：（1）是的垂直平分線，

四邊形是菱形．

（2）取的中點，過作于 連接，

在以為圓心，為半徑的圓上，

設(shè)

四邊形是菱形，

互相垂直平分，

為等邊三角形，

（3）如圖，以為坐標原點，所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，

由（2）知：

菱形，

為等邊三角形，

由 即

設(shè)為

為

，結(jié)合平行四邊形與菱形的中心對稱性得到：

過作于，

設(shè)為

解得：

為

解得：