Question

如圖，點P為△ABC的內心，延長AP交△ABC的外接圓于D，在AC延長線上有一點E，滿足AD²=AB•AE．
求證：DE是⊙O的切線．

Answer 1

分析：要證DE是⊙O的切線，只要連接DC，DO并延長交⊙O于F，連接AF．根據已知再證∠FDE=90°即可．

解答：證明：連接DC，DO并延長交⊙O于F，連接AF．
∵P點為△ABC的內心，
∴∠BAD=∠DAE，
又∵AD²=AB•AE，即

AD

AB

=

AE

AD

，
∴△BAD∽△DAE，
∴∠ADB=∠E．
又∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ACB=∠E，BC∥DE，
∴∠CDE=∠BCD=∠BAD=∠DAC，
又∵∠CAF=∠CDF，
∴∠FDE=∠CDE+∠CDF=∠DAC+∠CAF=∠DAF=90°，
故DE是⊙O的切線．

點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．