Question

如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，點P是邊AB上的一個動點（不與點A、點B重合），點Q在邊AD上，將△CBP和△QAP分別沿PC、PQ折疊，使B點與E點重合，A點與F點重合，且P、E、F三點共線．

（1）若點E平分線段PF，則此時AQ的長為多少？
（2）若線段CE與線段QF所在的平行直線之間的距離為2，則此時AP的長為多少？
（3）在“線段CE”、“線段QF”、“點A”這三者中，是否存在兩個在同一條直線上的情況？若存在，求出此時AP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據條件可以得出△AQP≌△FQP，△CPB≌△CPE，就可以得出PA=PF，PB=PE，由點E平分線段PF就可以得出EF=PE=PB，可以求出PB的值由三角形相似及可以AQ的值；
（2）由（1）的結論可以得出AP-PB=2，由AP+PB=4，以及EP-PF=2，PB-AP=2，解一個二元一次方程組解可以求出結論；
（3）如圖2，當CE與點A在同一直線上△AEP∽△ABC，設AP=x，根據相似三角形的性質就可以求出結論；若CE與QE在同一直線上，如圖3，由AP=BP可以求出結論．
解答：解：（1）將△CBP和△QAP分別沿PC、PQ折疊，得到△QFP和△PCE，
∴△AQP≌△FQP，△CPB≌△CPE，
∴PA=PF，PB=PE，∠QPA=∠QPF，∠CPB=∠CPE．
∵點E平分線段PF，
∴EF=EP=PB．
∵AB=4，
∴PB=，AP=．
∵∠QPA+∠QPF+∠CPB+∠CPE=180．
∴∠QPA+∠CPB=90°．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠CPB+∠PCB=90°，
∴∠QPA=∠PCB，
∴△QAP∽△PBC，
∴，
∴
∴QA=； 

（2）由題意，得
EP-PF=2．
∴PB-AP=2，
∵AP+PB=4，
∴2BP=6，
∴BP=3，
∴AP=1．
由題意，得
PF-EP=2．
∴AP-PE=2，
∵AP+PB=4，
∴2AP=6，
∴AP=3，
故AP的長為1或3；

（3）①若CE與點A在同一直線上，則
△AEP∽△ABC
∴，
設AP=x，
∴=
∴x=5-
②如圖3，若CE與QE在同一直線上，則
∴EP=AP=BP，
∴2AP=4，
∴AP=2．
點評：本題是一道四邊形綜合試題，考查了軸對稱的性質的運用，相似三角形的判定及性質的運用，解答本題時合理運用相似三角形的性質是解答本題的關鍵．