Question

已知關于x的一元二次方程2x²-4nx-2n=1和x²-（3n-1）x+2n²-3n=2，問是否存在這樣的n值，使得第一個方程的兩實根的平方和等于第二個方程的一整數根？若存在，求出這樣的n值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：存在．理由如下：
設方程2x²-4nx-2n=1的兩根為x₁，x₂，變形方程得到方程2x²-4nx-2n-1=0，
x₁+x₂=2n，x₁•x₂=-，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4n²+2n+1，
對于方程x²-（3n-1）x+2n²-3n-2=0，△=（3n-1）²-4（2n²-3n-2）=n2+6n+9=（n+3）²，
∴x=，即x₁=2n+1，x₂=n-2，
當4n²+2n+1=2n+1，解得n=0；
當4n²+2n+1=n-2，整理得4n²+n+3=0，△＜0，方程無解，
∴m的值為0．
分析：設方程2x²-4nx-2n=1的兩根為x₁，x₂，變形方程得到方程2x²-4nx-2n-1=0，根據根與系數的關系得到x₁+x₂=2n，x₁•x₂=-，再x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4n²+2n+1，然后解方程x²-（3n-1）x+2n²-3n-2=0得到x₁=2n+1，x₂=n-2，根據題意得到方程4n²+2n+1=2n+1和4n²+2n+1=n-2，最后分別解兩個關于n的方程即可．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了一元二次方程根的判別式．