Question

在圖①至圖③中，△ABC為直角三角形，且∠ABC＝90º，∠A＝30º，點P在AC上，∠MPN＝90º．

1.當點P為線段AC的中點，點M、N分別在線段AB、BC上，且PM⊥AB，

PN⊥BC（如圖①）時，則PN和PM的數量關系是：PN=________PM；

2.當點P為線段AC的中點，點M、N分別在線段AB、BC上（如圖②）時，求的值

3.當PC＝PA，點M、N分別在線段AB、BC上（如圖③）時，求的值；

 

Answer 1

 

1.

2.過點P作PE⊥AB于點E，PF⊥BC于點F，

則∠PEM=∠PFN=90°，又∠ABC＝90º，∴四邊形BFPE是矩形   

∴∠EPF＝90º，∵∠MPN＝90º，∴∠MPE+∠EPN=∠NPF+∠EPN=90°

∴∠MPE=∠NPF， ∴△PFN∽△PEM

∴＝，由（1）可知PF=PE，∴＝……………………6分

3.在Rt△ABC中，過點P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于點F

∴四邊形BFPE是矩形 ， ∴∠EPF＝90º，∵∠EPM＋∠MPF＝∠FPN＋∠MPF＝90º

可知∠EPM＝∠FPN ，∴△PFN∽△PEM ，∴＝  

又∵Rt△AEP和Rt△PFC中：∠A＝30º，∠C＝60º

∴PF＝PC，PE＝PA

∴＝＝ ，∵PC＝PA  ∴＝  ………………10分

 解析:略